Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left({23}^2-4*18*5\right)\right)/\left(2*18\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(529-4*18*5\right)\right)/\left(2*18\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(529-72*5\right)\right)/\left(2*18\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(529-360\right)\right)/\left(2*18\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(169\right)\right)/\left(2*18\right)$$

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(169\right)\right)/\left(36\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-23\pm sqrt\left(169\right)\right)/36$$

Simplificar $$169$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$169$$ é $${13}^2$$

$$x=\left(-23\pm 13\right)/36$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-23+13\right)/36$$ e $$x_2=\left(-23-13\right)/36$$

$$x_1=\left(-23+13\right)/36$$

$$x_1=\left(-23+13\right)/36$$

$$x_1=\left(-10\right)/36$$

$$x_1=-\frac{10}{36}$$

$$x_1=-0,278$$

$$x_2=\left(-23-13\right)/36$$

$$x_2=\left(-23-13\right)/36$$

$$x_2=\left(-36\right)/36$$

$$x_2=-\frac{36}{36}$$

$$x_2=-1$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1, -0.278.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=18), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$18x^2+23x+5\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$