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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

m \in (- \infty, \infty)

m∈(-∞,∞)

Solução:

m_{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{7}, m_{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{7}

m_{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\cdot\sqrt{7} , m_{2}=\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}i\cdot\sqrt{7}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $16 m^{2} - 16 m + 32 < 0$ , são:

$a$ = 16

$b$ = -16

$c$ = 32

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a m^{2} + b m + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$m = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 16$
$b = - 16$
$c = 32$

$m = (- 1 * - 16 \pm s q r t (- 16^{2} - 4 * 16 * 32)) / (2 * 16)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$m = (- 1 * - 16 \pm s q r t (256 - 4 * 16 * 32)) / (2 * 16)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$m = (- 1 * - 16 \pm s q r t (256 - 64 * 32)) / (2 * 16)$

$m = (- 1 * - 16 \pm s q r t (256 - 2048)) / (2 * 16)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$m = (- 1 * - 16 \pm s q r t (- 1792)) / (2 * 16)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$m = (- 1 * - 16 \pm s q r t (- 1792)) / (32)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$m = (16 \pm s q r t (- 1792)) / 32$

para obter o resultado:

$m = (16 \pm s q r t (- 1792)) / 32$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 1792)}$

Simplificar $- 1792$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 1792$ é $16 i \cdot \sqrt{7}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 1792} = \sqrt{(- 1) \cdot 1792}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 1792} = i \sqrt{1792}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{1792} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 7}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 7} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{7}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{7} = 4 \cdot 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{7}$

$4 \cdot 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{7} = 8 \cdot 2 i \cdot \sqrt{7}$

$8 \cdot 2 i \cdot \sqrt{7} = 16 i \cdot \sqrt{7}$

4. Resolver a equação para m

$m = (16 \pm 16 i * s q r t (7)) / 32$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $m_{1} = (16 + 16 i * s q r t (7)) / 32$ e $m_{2} = (16 - 16 i * s q r t (7)) / 32$

3 passos adicionais

$m_{1} = \frac{(16 + 16 i \cdot \sqrt{7})}{32}$

Quebrar a fração:

$m_{1} = \frac{16}{32} + \frac{16 i \cdot \sqrt{7}}{32}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$m_{1} = \frac{(1 \cdot 16)}{(2 \cdot 16)} + \frac{16 i \cdot \sqrt{7}}{32}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$m_{1} = \frac{1}{2} + \frac{16 i \cdot \sqrt{7}}{32}$

Simplificar a fração:

$m_{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{7}$

3 passos adicionais

$m_{2} = \frac{(16 - 16 i \cdot \sqrt{7})}{32}$

Quebrar a fração:

$m_{2} = \frac{16}{32} + \frac{- 16 i \cdot \sqrt{7}}{32}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$m_{2} = \frac{(1 \cdot 16)}{(2 \cdot 16)} + \frac{- 16 i \cdot \sqrt{7}}{32}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$m_{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 16 i \cdot \sqrt{7}}{32}$

Simplificar a fração:

$m_{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{7}$

5. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

3. Simplificar a raiz quadrada (−1792)

4. Resolver a equação para m

5. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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