Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-68\pm sqrt\left(-{68}^2-4*15*-64\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-68\pm sqrt\left(4624-4*15*-64\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-68\pm sqrt\left(4624-60*-64\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-68\pm sqrt\left(4624--3840\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-68\pm sqrt\left(4624+3840\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-68\pm sqrt\left(8464\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-68\pm sqrt\left(8464\right)\right)/\left(30\right)$$

$$x=\left(68\pm sqrt\left(8464\right)\right)/30$$

para obter o resultado:

$$x=\left(68\pm sqrt\left(8464\right)\right)/30$$

Simplificar $$8464$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$8464$$ é $$2^4\cdot {23}^2$$

$$x=\left(68\pm 92\right)/30$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(68+92\right)/30$$ e $$x_2=\left(68-92\right)/30$$

$$x_1=\left(68+92\right)/30$$

$$x_1=\left(68+92\right)/30$$

$$x_1=\left(160\right)/30$$

$$x_1=\frac{160}{30}$$

$$x_1=5,333$$

$$x_2=\left(68-92\right)/30$$

$$x_2=\left(68-92\right)/30$$

$$x_2=\left(-24\right)/30$$

$$x_2=-\frac{24}{30}$$

$$x_2=-0,8$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,8, 5,333.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=15), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$15x^2-68x-64<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$