Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-64\pm sqrt\left(-{64}^2-4*15*-64\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-64\pm sqrt\left(4096-4*15*-64\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-64\pm sqrt\left(4096-60*-64\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-64\pm sqrt\left(4096--3840\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-64\pm sqrt\left(4096+3840\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-64\pm sqrt\left(7936\right)\right)/\left(2*15\right)$$

$$x=\left(-1*-64\pm sqrt\left(7936\right)\right)/\left(30\right)$$

$$x=\left(64\pm sqrt\left(7936\right)\right)/30$$

para obter o resultado:

$$x=\left(64\pm sqrt\left(7936\right)\right)/30$$

Simplificar $$7936$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$7936$$ é $$2^8\cdot 31$$

$$x=\left(64\pm 16*sqrt\left(31\right)\right)/30$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(64+16*sqrt\left(31\right)\right)/30$$ e $$x_2=\left(64-16*sqrt\left(31\right)\right)/30$$

$$x_1=\left(64+16*sqrt\left(31\right)\right)/30$$

$$x_1=\left(64+16*sqrt\left(31\right)\right)/30$$

$$x_1=\left(64+16*5,568\right)/30$$

$$x_1=\left(64+16*5,568\right)/30$$

$$x_1=\left(64+89,084\right)/30$$

$$x_1=\left(64+89,084\right)/30$$

$$x_1=\left(153,084\right)/30$$

$$x_1=153,\frac{084}{30}$$

$$x_1=5,103$$

$$x_2=\left(64-16*sqrt\left(31\right)\right)/30$$

$$x_2=\left(64-16*5,568\right)/30$$

$$x_2=\left(64-16*5,568\right)/30$$

$$x_2=\left(64-89,084\right)/30$$

$$x_2=\left(64-89,084\right)/30$$

$$x_2=\left(-25,084\right)/30$$

$$x_2=-25,\frac{084}{30}$$

$$x_2=-0,836$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,836, 5,103.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=15), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$15x^2-64x-64>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$