Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left({10}^2-4*-1*15\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100-4*-1*15\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100--4*15\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100--60\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100+60\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(160\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(160\right)\right)/\left(-2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(160\right)\right)/\left(-2\right)$$

Simplificar $$160$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$160$$ é $$2^5\cdot 5$$

$$x=\left(-10\pm 4*sqrt\left(10\right)\right)/\left(-2\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-10+4*sqrt\left(10\right)\right)/\left(-2\right)$$ e $$x_2=\left(-10-4*sqrt\left(10\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-10+4*sqrt\left(10\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-10+4*sqrt\left(10\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-10+4*3,162\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-10+4*3,162\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-10+12,649\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-10+12,649\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(2,649\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=2,\frac{649}{-}2$$

$$x_1=-1,325$$

$$x_2=\left(-10-4*sqrt\left(10\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-10-4*3,162\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-10-4*3,162\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-10-12,649\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-10-12,649\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-22,649\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=-22,\frac{649}{-}2$$

$$x_2=11,325$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,325, 11,325.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-1x^2+10x+15\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$