Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-242\pm sqrt\left({242}^2-4*14*-56\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-242\pm sqrt\left(58564-4*14*-56\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-242\pm sqrt\left(58564-56*-56\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-242\pm sqrt\left(58564--3136\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-242\pm sqrt\left(58564+3136\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-242\pm sqrt\left(61700\right)\right)/\left(2*14\right)$$

$$x=\left(-242\pm sqrt\left(61700\right)\right)/\left(28\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-242\pm sqrt\left(61700\right)\right)/28$$

Simplificar $$61700$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$61700$$ é $$2^2\cdot 5^2\cdot 617$$

$$x=\left(-242\pm 10*sqrt\left(617\right)\right)/28$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-242+10*sqrt\left(617\right)\right)/28$$ e $$x_2=\left(-242-10*sqrt\left(617\right)\right)/28$$

$$x_1=\left(-242+10*sqrt\left(617\right)\right)/28$$

$$x_1=\left(-242+10*sqrt\left(617\right)\right)/28$$

$$x_1=\left(-242+10*24,839\right)/28$$

$$x_1=\left(-242+10*24,839\right)/28$$

$$x_1=\left(-242+248,395\right)/28$$

$$x_1=\left(-242+248,395\right)/28$$

$$x_1=\left(6,395\right)/28$$

$$x_1=6,\frac{395}{28}$$

$$x_1=0,228$$

$$x_2=\left(-242-10*sqrt\left(617\right)\right)/28$$

$$x_2=\left(-242-10*24,839\right)/28$$

$$x_2=\left(-242-10*24,839\right)/28$$

$$x_2=\left(-242-248,395\right)/28$$

$$x_2=\left(-242-248,395\right)/28$$

$$x_2=\left(-490,395\right)/28$$

$$x_2=-490,\frac{395}{28}$$

$$x_2=-17,514$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -17,514, 0,228.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=14), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$14x^2+242x-56<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$