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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

y \in (- \infty, \infty)

y∈(-∞,∞)

Solução:

y_{1} = \frac{3}{2} + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{2}, y_{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{2}

y_{1}=\frac{3}{2}+\frac{-1}{2}i\cdot\sqrt{2} , y_{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\cdot\sqrt{2}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 4 y^{2} + 12 y - 11 < 0$ , são:

$a$ = -4

$b$ = 12

$c$ = -11

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a y^{2} + b y + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$y = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 4$
$b = 12$
$c = - 11$

$y = (- 12 \pm s q r t (12^{2} - 4 * - 4 * - 11)) / (2 * - 4)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$y = (- 12 \pm s q r t (144 - 4 * - 4 * - 11)) / (2 * - 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (- 12 \pm s q r t (144 - - 16 * - 11)) / (2 * - 4)$

$y = (- 12 \pm s q r t (144 - 176)) / (2 * - 4)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$y = (- 12 \pm s q r t (- 32)) / (2 * - 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (- 12 \pm s q r t (- 32)) / (- 8)$

para obter o resultado:

$y = (- 12 \pm s q r t (- 32)) / (- 8)$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 32)}$

Simplificar $- 32$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 32$ é $4 i \cdot \sqrt{2}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 32} = \sqrt{(- 1) \cdot 32}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 32} = i \sqrt{32}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{32} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2} = 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{2}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{2} = 4 i \cdot \sqrt{2}$

4. Resolver a equação para y

$y = (- 12 \pm 4 i * s q r t (2)) / (- 8)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $y_{1} = (- 12 + 4 i * s q r t (2)) / (- 8)$ e $y_{2} = (- 12 - 4 i * s q r t (2)) / (- 8)$

5 passos adicionais

$y_{1} = \frac{(- 12 + 4 i \cdot \sqrt{2})}{- 8}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$y_{1} = \frac{- (- 12 + 4 i \cdot \sqrt{2})}{8}$

Expandir os parêntesis:

$y_{1} = \frac{(12 - 4 i \cdot \sqrt{2})}{8}$

Quebrar a fração:

$y_{1} = \frac{12}{8} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{2}}{8}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$y_{1} = \frac{(3 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{2}}{8}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$y_{1} = \frac{3}{2} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{2}}{8}$

Simplificar a fração:

$y_{1} = \frac{3}{2} + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{2}$

5 passos adicionais

$y_{2} = \frac{(- 12 - 4 i \cdot \sqrt{2})}{- 8}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$y_{2} = \frac{- (- 12 - 4 i \cdot \sqrt{2})}{8}$

Expandir os parêntesis:

$y_{2} = \frac{(12 + 4 i \cdot \sqrt{2})}{8}$

Quebrar a fração:

$y_{2} = \frac{12}{8} + \frac{4 i \cdot \sqrt{2}}{8}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$y_{2} = \frac{(3 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)} + \frac{4 i \cdot \sqrt{2}}{8}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$y_{2} = \frac{3}{2} + \frac{4 i \cdot \sqrt{2}}{8}$

Simplificar a fração:

$y_{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{2}$

5. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

3. Simplificar a raiz quadrada (−32)

4. Resolver a equação para y

5. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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