Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(-7^2-4*10*-12\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-4*10*-12\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49-40*-12\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49--480\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(49+480\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(529\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-1*-7\pm sqrt\left(529\right)\right)/\left(20\right)$$

$$x=\left(7\pm sqrt\left(529\right)\right)/20$$

para obter o resultado:

$$x=\left(7\pm sqrt\left(529\right)\right)/20$$

Simplificar $$529$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$529$$ é $${23}^2$$

$$x=\left(7\pm 23\right)/20$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(7+23\right)/20$$ e $$x_2=\left(7-23\right)/20$$

$$x_1=\left(7+23\right)/20$$

$$x_1=\left(7+23\right)/20$$

$$x_1=\left(30\right)/20$$

$$x_1=\frac{30}{20}$$

$$x_1=1,5$$

$$x_2=\left(7-23\right)/20$$

$$x_2=\left(7-23\right)/20$$

$$x_2=\left(-16\right)/20$$

$$x_2=-\frac{16}{20}$$

$$x_2=-0,8$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,8, 1,5.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=10), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$10x^2-7x-12\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$