Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(7^2-4*10*-4\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49-4*10*-4\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49-40*-4\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49--160\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49+160\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(209\right)\right)/\left(2*10\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(209\right)\right)/\left(20\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(209\right)\right)/20$$

Simplificar $$209$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$209$$ é $$11\cdot 19$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(209\right)\right)/20$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-7+sqrt\left(209\right)\right)/20$$ e $$x_2=\left(-7-sqrt\left(209\right)\right)/20$$

$$x_1=\left(-7+sqrt\left(209\right)\right)/20$$

$$x_1=\left(-7+sqrt\left(209\right)\right)/20$$

$$x_1=\left(-7+14,457\right)/20$$

$$x_1=\left(-7+14,457\right)/20$$

$$x_1=\left(7,457\right)/20$$

$$x_1=7,\frac{457}{20}$$

$$x_1=0,373$$

$$x_2=\left(-7-sqrt\left(209\right)\right)/20$$

$$x_2=\left(-7-14,457\right)/20$$

$$x_2=\left(-7-14,457\right)/20$$

$$x_2=\left(-21,457\right)/20$$

$$x_2=-21,\frac{457}{20}$$

$$x_2=-1,073$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,073, 0,373.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=10), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$10x^2+7x-4<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$