Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$1000x^2+6400x-9400>0$$, são:

$$a$$ = 1,000

$$b$$ = 6,400

$$c$$ = -9400

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-6400\pm sqrt\left({6400}^2-4*1000*-9400\right)\right)/\left(2*1000\right)$$

$$x=\left(-6400\pm sqrt\left(40960000-4*1000*-9400\right)\right)/\left(2*1000\right)$$

$$x=\left(-6400\pm sqrt\left(40960000-4000*-9400\right)\right)/\left(2*1000\right)$$

$$x=\left(-6400\pm sqrt\left(40960000--37600000\right)\right)/\left(2*1000\right)$$

$$x=\left(-6400\pm sqrt\left(40960000+37600000\right)\right)/\left(2*1000\right)$$

$$x=\left(-6400\pm sqrt\left(78560000\right)\right)/\left(2*1000\right)$$

$$x=\left(-6400\pm sqrt\left(78560000\right)\right)/\left(2000\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-6400\pm sqrt\left(78560000\right)\right)/2000$$

Simplificar $$78560000$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$78560000$$ é $$2^8\cdot 5^4\cdot 491$$

$$x=\left(-6400\pm 400*sqrt\left(491\right)\right)/2000$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-6400+400*sqrt\left(491\right)\right)/2000$$ e $$x_2=\left(-6400-400*sqrt\left(491\right)\right)/2000$$

$$x_1=\left(-6400+400*sqrt\left(491\right)\right)/2000$$

$$x_1=\left(-6400+400*sqrt\left(491\right)\right)/2000$$

$$x_1=\left(-6400+400*22,159\right)/2000$$

$$x_1=\left(-6400+400*22,159\right)/2000$$

$$x_1=\left(-6400+8863,408\right)/2000$$

$$x_1=\left(-6400+8863,408\right)/2000$$

$$x_1=\left(2463,408\right)/2000$$

$$x_1=2463,\frac{408}{2000}$$

$$x_1=1,232$$

$$x_2=\left(-6400-400*sqrt\left(491\right)\right)/2000$$

$$x_2=\left(-6400-400*22,159\right)/2000$$

$$x_2=\left(-6400-400*22,159\right)/2000$$

$$x_2=\left(-6400-8863,408\right)/2000$$

$$x_2=\left(-6400-8863,408\right)/2000$$

$$x_2=\left(-15263,408\right)/2000$$

$$x_2=-15263,\frac{408}{2000}$$

$$x_2=-7,632$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -7,632, 1,232.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1,000), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$1000x^2+6400x-9400>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$