Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$0,15x^2+100x-14000<0$$, são:

$$a$$ = 0,15

$$b$$ = 100

$$c$$ = -14000

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-100\pm sqrt\left({100}^2-4*0,15*-14000\right)\right)/\left(2*0,15\right)$$

$$x=\left(-100\pm sqrt\left(10000-4*0,15*-14000\right)\right)/\left(2*0,15\right)$$

$$x=\left(-100\pm sqrt\left(10000-0,6*-14000\right)\right)/\left(2*0,15\right)$$

$$x=\left(-100\pm sqrt\left(10000--8400\right)\right)/\left(2*0,15\right)$$

$$x=\left(-100\pm sqrt\left(10000+8400\right)\right)/\left(2*0,15\right)$$

$$x=\left(-100\pm sqrt\left(18400\right)\right)/\left(2*0,15\right)$$

$$x=\left(-100\pm sqrt\left(18400\right)\right)/\left(0,3\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-100\pm sqrt\left(18400\right)\right)/0,3$$

Simplificar $$18400$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$18400$$ é $$2^5\cdot 5^2\cdot 23$$

$$x=\left(-100\pm 20*sqrt\left(46\right)\right)/0,3$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-100+20*sqrt\left(46\right)\right)/0,3$$ e $$x_2=\left(-100-20*sqrt\left(46\right)\right)/0,3$$

$$x_1=\left(-100+20*sqrt\left(46\right)\right)/0,3$$

$$x_1=\left(-100+20*sqrt\left(46\right)\right)/0,3$$

$$x_1=\left(-100+20*6,782\right)/0,3$$

$$x_1=\left(-100+20*6,782\right)/0,3$$

$$x_1=\left(-100+135,647\right)/0,3$$

$$x_1=\left(-100+135,647\right)/0,3$$

$$x_1=\left(35,647\right)/0,3$$

$$x_1=35,\frac{647}{0},3$$

$$x_1=118,822$$

$$x_2=\left(-100-20*sqrt\left(46\right)\right)/0,3$$

$$x_2=\left(-100-20*6,782\right)/0,3$$

$$x_2=\left(-100-20*6,782\right)/0,3$$

$$x_2=\left(-100-135,647\right)/0,3$$

$$x_2=\left(-100-135,647\right)/0,3$$

$$x_2=\left(-235,647\right)/0,3$$

$$x_2=-235,\frac{647}{0},3$$

$$x_2=-785,489$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -785,489, 118,822.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=0,15), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$0,15x^2+100x-14000<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$