Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

x < - 8 or x > - 4

x<-8 or x>-4

Notação de intervalo:

x \in (- \infty, - 8) ⋃ (- 4, \infty)

x∈(-∞,-8)⋃(-4,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

7 passos adicionais

$- x^{2} - 15 x - 42 < - 3 x - 10$

Adicionar $42$ em ambos os lados:

$(- x^{2} - 15 x - 42) + 3 x < (- 3 x - 10) + 3 x$

Agrupar termos semelhantes:

$- x^{2} + (- 15 x + 3 x) - 42 < (- 3 x - 10) + 3 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x^{2} - 12 x - 42 < (- 3 x - 10) + 3 x$

Agrupar termos semelhantes:

$- x^{2} - 12 x - 42 < (- 3 x + 3 x) - 10$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x^{2} - 12 x - 42 < - 10$

Adicionar $42$ em ambos os lados:

$(- x^{2} - 12 x - 42) + 42 < - 10 + 42$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x^{2} - 12 x < - 10 + 42$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x^{2} - 12 x < 32$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Subtrair $32$ de ambos os lados da desigualdade:

$- 1 x^{2} - 12 x < 32$

Subtrair $32$ de ambos os lados:

$- 1 x^{2} - 12 x - 32 < 32 - 32$

Simplificar a expressão

$- 1 x^{2} - 12 x - 32 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 1 x^{2} - 12 x - 32 < 0$ , são:

$a$ = -1

$b$ = -12

$c$ = -32

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 1$
$b = - 12$
$c = - 32$

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (- 12^{2} - 4 * - 1 * - 32)) / (2 * - 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (144 - 4 * - 1 * - 32)) / (2 * - 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (144 - - 4 * - 32)) / (2 * - 1)$

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (144 - 128)) / (2 * - 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (16)) / (2 * - 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 12 \pm s q r t (16)) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (12 \pm s q r t (16)) / (- 2)$

para obter o resultado:

$x = (12 \pm s q r t (16)) / (- 2)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(16)}$

Simplificar $16$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>16</math>:

A fatoração prima de $16$ é $2^{4}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{16} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2}} = 2 \cdot 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 = 4$

5. Resolver a equação para x

$x = (12 \pm 4) / (- 2)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (12 + 4) / (- 2)$ e $x_{2} = (12 - 4) / (- 2)$

$x_{1} = (12 + 4) / (- 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (12 + 4) / (- 2)$

$x_{1} = (16) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{16}{-} 2$

$x_{1} = - 8$

$x_{2} = (12 - 4) / (- 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (12 - 4) / (- 2)$

$x_{2} = (8) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = \frac{8}{-} 2$

$x_{2} = - 4$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -8, -4.

Uma vez que o coeficiente $a$ é negativo ( $a$ =-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $- 1 x^{2} - 12 x - 32 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (16)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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