Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$-1x^2-14x-42<0$$, são:

$$a$$ = -1

$$b$$ = -14

$$c$$ = -42

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(-{14}^2-4*-1*-42\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(196-4*-1*-42\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(196--4*-42\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(196-168\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x=\left(14\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(-2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(14\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(-2\right)$$

Simplificar $$28$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$28$$ é $$2^2\cdot 7$$

$$x=\left(14\pm 2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(14+2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$ e $$x_2=\left(14-2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+2*2,646\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+2*2,646\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+5,292\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+5,292\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(19,292\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=19,\frac{292}{-}2$$

$$x_1=-9,646$$

$$x_2=\left(14-2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(14-2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(14-2*2,646\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(14-2*2,646\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(14-5,292\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(14-5,292\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(8,708\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=8,\frac{708}{-}2$$

$$x_2=-4,354$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -9,646, -4,354.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-1x^2-14x-42<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$