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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = 2 - i \cdot \sqrt{3}, x_{2} = 2 + i \cdot \sqrt{3}

x_{1}=2-i\cdot\sqrt{3} , x_{2}=2+i\cdot\sqrt{3}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Subtrair $7$ de ambos os lados da desigualdade:

$- 1 x^{2} + 4 x < 7$

Subtrair $7$ de ambos os lados:

$- 1 x^{2} + 4 x - 7 < 7 - 7$

Simplificar a expressão

$- 1 x^{2} + 4 x - 7 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 1 x^{2} + 4 x - 7 < 0$ , são:

$a$ = -1

$b$ = 4

$c$ = -7

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 1$
$b = 4$
$c = - 7$

$x = (- 4 \pm s q r t (4^{2} - 4 * - 1 * - 7)) / (2 * - 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 4 * - 1 * - 7)) / (2 * - 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - - 4 * - 7)) / (2 * - 1)$

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 28)) / (2 * - 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 4 \pm s q r t (- 12)) / (2 * - 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 4 \pm s q r t (- 12)) / (- 2)$

para obter o resultado:

$x = (- 4 \pm s q r t (- 12)) / (- 2)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 12)}$

Simplificar $- 12$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 12$ é $2 i \cdot \sqrt{3}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 12} = \sqrt{(- 1) \cdot 12}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 12} = i \sqrt{12}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{12} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 3} = 2 i \cdot \sqrt{3}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 4 \pm 2 i * s q r t (3)) / (- 2)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 4 + 2 i * s q r t (3)) / (- 2)$ e $x_{2} = (- 4 - 2 i * s q r t (3)) / (- 2)$

5 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 4 + 2 i \cdot \sqrt{3})}{- 2}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{1} = \frac{- (- 4 + 2 i \cdot \sqrt{3})}{2}$

Expandir os parêntesis:

$x_{1} = \frac{(4 - 2 i \cdot \sqrt{3})}{2}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{4}{2} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{3}}{2}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(2 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{3}}{2}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = 2 + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{3}}{2}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = 2 - i \cdot \sqrt{3}$

5 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 4 - 2 i \cdot \sqrt{3})}{- 2}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{2} = \frac{- (- 4 - 2 i \cdot \sqrt{3})}{2}$

Expandir os parêntesis:

$x_{2} = \frac{(4 + 2 i \cdot \sqrt{3})}{2}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{4}{2} + \frac{2 i \cdot \sqrt{3}}{2}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(2 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)} + \frac{2 i \cdot \sqrt{3}}{2}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = 2 + \frac{2 i \cdot \sqrt{3}}{2}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = 2 + i \cdot \sqrt{3}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas