Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left({12}^2-4*-1*-33\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-4*-1*-33\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144--4*-33\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-132\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(12\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(12\right)\right)/\left(-2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(12\right)\right)/\left(-2\right)$$

Simplificar $$12$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$12$$ é $$2^2\cdot 3$$

$$x=\left(-12\pm 2*sqrt\left(3\right)\right)/\left(-2\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-12+2*sqrt\left(3\right)\right)/\left(-2\right)$$ e $$x_2=\left(-12-2*sqrt\left(3\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-12+2*sqrt\left(3\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-12+2*1,732\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-12+2*1,732\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-12+3,464\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-12+3,464\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-8,536\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=-8,\frac{536}{-}2$$

$$x_1=4,268$$

$$x_2=\left(-12-2*sqrt\left(3\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-12-2*1,732\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-12-2*1,732\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-12-3,464\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-12-3,464\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-15,464\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=-15,\frac{464}{-}2$$

$$x_2=7,732$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 4,268, 7,732.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-1x^2+12x-33\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$