Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left({12}^2-4*-1*45\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-4*-1*45\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144--4*45\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144--180\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144+180\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(324\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(324\right)\right)/\left(-2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(324\right)\right)/\left(-2\right)$$

Simplificar $$324$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$324$$ é $$2^2\cdot 3^4$$

$$x=\left(-12\pm 18\right)/\left(-2\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-12+18\right)/\left(-2\right)$$ e $$x_2=\left(-12-18\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-12+18\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-12+18\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(6\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\frac{6}{-}2$$

$$x_1=-3$$

$$x_2=\left(-12-18\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-12-18\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-30\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=-\frac{30}{-}2$$

$$x_2=15$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -3, 15.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-1x^2+12x+45<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$