Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-21\pm sqrt\left(-{21}^2-4*-5*18\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-1*-21\pm sqrt\left(441-4*-5*18\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-1*-21\pm sqrt\left(441--20*18\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-1*-21\pm sqrt\left(441--360\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-1*-21\pm sqrt\left(441+360\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-1*-21\pm sqrt\left(801\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-1*-21\pm sqrt\left(801\right)\right)/\left(-10\right)$$

$$x=\left(21\pm sqrt\left(801\right)\right)/\left(-10\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(21\pm sqrt\left(801\right)\right)/\left(-10\right)$$

Simplificar $$801$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$801$$ é $$3^2\cdot 89$$

$$x=\left(21\pm 3*sqrt\left(89\right)\right)/\left(-10\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(21+3*sqrt\left(89\right)\right)/\left(-10\right)$$ e $$x_2=\left(21-3*sqrt\left(89\right)\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\left(21+3*sqrt\left(89\right)\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\left(21+3*sqrt\left(89\right)\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\left(21+3*9,434\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\left(21+3*9,434\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\left(21+28,302\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\left(21+28,302\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\left(49,302\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=49,\frac{302}{-}10$$

$$x_1=-4,93$$

$$x_2=\left(21-3*sqrt\left(89\right)\right)/\left(-10\right)$$

$$x_2=\left(21-3*9,434\right)/\left(-10\right)$$

$$x_2=\left(21-3*9,434\right)/\left(-10\right)$$

$$x_2=\left(21-28,302\right)/\left(-10\right)$$

$$x_2=\left(21-28,302\right)/\left(-10\right)$$

$$x_2=\left(-7,302\right)/\left(-10\right)$$

$$x_2=-7,\frac{302}{-}10$$

$$x_2=0,73$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -4,93, 0,73.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-5), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-5x^2-21x+18\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$