Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$-5x^2+4x+1>0$$, são:

$$a$$ = -5

$$b$$ = 4

$$c$$ = 1

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(4^2-4*-5*1\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*-5*1\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16--20*1\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16--20\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16+20\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(36\right)\right)/\left(2*-5\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(36\right)\right)/\left(-10\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(36\right)\right)/\left(-10\right)$$

Simplificar $$36$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$36$$ é $$2^2\cdot 3^2$$

$$x=\left(-4\pm 6\right)/\left(-10\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-4+6\right)/\left(-10\right)$$ e $$x_2=\left(-4-6\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\left(-4+6\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\left(-4+6\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\left(2\right)/\left(-10\right)$$

$$x_1=\frac{2}{-}10$$

$$x_1=-0,2$$

$$x_2=\left(-4-6\right)/\left(-10\right)$$

$$x_2=\left(-4-6\right)/\left(-10\right)$$

$$x_2=\left(-10\right)/\left(-10\right)$$

$$x_2=-\frac{10}{-}10$$

$$x_2=1$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,2, 1.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-5), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-5x^2+4x+1>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$