Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

x < - 1 or x > 1, 25

x<-1 or x>1,25

Notação de intervalo:

x \in (- \infty, - 1) ⋃ (1, 25, \infty)

x∈(-∞,-1)⋃(1,25,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

13 passos adicionais

$- 4 x^{2} + 7 < - x + 2$

Adicionar $4 x^{2}$ em ambos os lados:

$(- 4 x^{2} + 7) + x < (- x + 2) + x$

Agrupar termos semelhantes:

$(- 4 x^{2} + 7) + x < (- x + x) + 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$(- 4 x^{2} + 7) + x < 2$

Subtrair 4{x}^{2} de ambos os lados:

$((- 4 x^{2} + 7) + x) - (- 4 x^{2} + 7) < 2 - (- 4 x^{2} + 7)$

Expandir os parêntesis:

$- 4 x^{2} + 7 + x + 4 x^{2} - 7 < 2 - (- 4 x^{2} + 7)$

Agrupar termos semelhantes:

$(- 4 x^{2} + 4 x^{2}) + x + (7 - 7) < 2 - (- 4 x^{2} + 7)$

Simplificar a expressão aritmética:

$0 x^{2} + x < 2 - (- 4 x^{2} + 7)$

$x < 2 - (- 4 x^{2} + 7)$

Expandir os parêntesis:

$x < 2 + 4 x^{2} - 7$

Agrupar termos semelhantes:

$x < 4 x^{2} + (2 - 7)$

Simplificar a expressão aritmética:

$x < 4 x^{2} - 5$

Subtrair 4{x}^{2} de ambos os lados:

$x - 4 x^{2} < (4 x^{2} - 5) - 4 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$x - 4 x^{2} < (4 x^{2} - 4 x^{2}) - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$x - 4 x^{2} < - 5$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Adicionar $- 5$ a ambos os lados da equação.

$- 4 x^{2} + 1 x < - 5$

Adicionar $- 5$ a ambos os lados da equação.

$- 4 x^{2} + 1 x + 5 < - 5 + 5$

Simplificar a expressão

$- 4 x^{2} + 1 x + 5 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 4 x^{2} + 1 x + 5 < 0$ , são:

$a$ = -4

$b$ = 1

$c$ = 5

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 4$
$b = 1$
$c = 5$

$x = (- 1 \pm s q r t (1^{2} - 4 * - 4 * 5)) / (2 * - 4)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 \pm s q r t (1 - 4 * - 4 * 5)) / (2 * - 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 \pm s q r t (1 - - 16 * 5)) / (2 * - 4)$

$x = (- 1 \pm s q r t (1 - - 80)) / (2 * - 4)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 \pm s q r t (1 + 80)) / (2 * - 4)$

$x = (- 1 \pm s q r t (81)) / (2 * - 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 \pm s q r t (81)) / (- 8)$

para obter o resultado:

$x = (- 1 \pm s q r t (81)) / (- 8)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(81)}$

Simplificar $81$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>81</math>:

A fatoração prima de $81$ é $3^{4}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{81} = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{3^{2} \cdot 3^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{3^{2} \cdot 3^{2}} = 3 \cdot 3$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$3 \cdot 3 = 9$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 1 \pm 9) / (- 8)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 1 + 9) / (- 8)$ e $x_{2} = (- 1 - 9) / (- 8)$

$x_{1} = (- 1 + 9) / (- 8)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (- 1 + 9) / (- 8)$

$x_{1} = (8) / (- 8)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{8}{-} 8$

$x_{1} = - 1$

$x_{2} = (- 1 - 9) / (- 8)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (- 1 - 9) / (- 8)$

$x_{2} = (- 10) / (- 8)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{10}{-} 8$

$x_{2} = 1, 25$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1, 1,25.

Uma vez que o coeficiente $a$ é negativo ( $a$ =-4), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $- 4 x^{2} + 1 x + 5 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (81)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

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