Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(5^2-4*-4*7\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25-4*-4*7\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25--16*7\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25--112\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25+112\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(137\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(137\right)\right)/\left(-8\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(137\right)\right)/\left(-8\right)$$

Simplificar $$137$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$137$$ é $$137$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(137\right)\right)/\left(-8\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-5+sqrt\left(137\right)\right)/\left(-8\right)$$ e $$x_2=\left(-5-sqrt\left(137\right)\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(-5+sqrt\left(137\right)\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(-5+sqrt\left(137\right)\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(-5+11,705\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(-5+11,705\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(6,705\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=6,\frac{705}{-}8$$

$$x_1=-0,838$$

$$x_2=\left(-5-sqrt\left(137\right)\right)/\left(-8\right)$$

$$x_2=\left(-5-11,705\right)/\left(-8\right)$$

$$x_2=\left(-5-11,705\right)/\left(-8\right)$$

$$x_2=\left(-16,705\right)/\left(-8\right)$$

$$x_2=-16,\frac{705}{-}8$$

$$x_2=2,088$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,838, 2,088.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-4), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-4x^2+5x+7>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$