Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left({12}^2-4*-4*5\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-4*-4*5\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144--16*5\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144--80\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144+80\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(224\right)\right)/\left(2*-4\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(224\right)\right)/\left(-8\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(224\right)\right)/\left(-8\right)$$

Simplificar $$224$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$224$$ é $$2^5\cdot 7$$

$$x=\left(-12\pm 4*sqrt\left(14\right)\right)/\left(-8\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-12+4*sqrt\left(14\right)\right)/\left(-8\right)$$ e $$x_2=\left(-12-4*sqrt\left(14\right)\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(-12+4*sqrt\left(14\right)\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(-12+4*sqrt\left(14\right)\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(-12+4*3,742\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(-12+4*3,742\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(-12+14,967\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(-12+14,967\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=\left(2,967\right)/\left(-8\right)$$

$$x_1=2,\frac{967}{-}8$$

$$x_1=-0,371$$

$$x_2=\left(-12-4*sqrt\left(14\right)\right)/\left(-8\right)$$

$$x_2=\left(-12-4*3,742\right)/\left(-8\right)$$

$$x_2=\left(-12-4*3,742\right)/\left(-8\right)$$

$$x_2=\left(-12-14,967\right)/\left(-8\right)$$

$$x_2=\left(-12-14,967\right)/\left(-8\right)$$

$$x_2=\left(-26,967\right)/\left(-8\right)$$

$$x_2=-26,\frac{967}{-}8$$

$$x_2=3,371$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,371, 3,371.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-4), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-4x^2+12x+5\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$