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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

k < - 1 or k > 4

k<-1 or k>4

Notação de intervalo:

k \in (- \infty, - 1) ⋃ (4, \infty)

k∈(-∞,-1)⋃(4,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 4 k^{2} + 12 k + 16 < 0$ , são:

$a$ = -4

$b$ = 12

$c$ = 16

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a k^{2} + b k + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 4$
$b = 12$
$c = 16$

$k = (- 12 \pm s q r t (12^{2} - 4 * - 4 * 16)) / (2 * - 4)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$k = (- 12 \pm s q r t (144 - 4 * - 4 * 16)) / (2 * - 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 12 \pm s q r t (144 - - 16 * 16)) / (2 * - 4)$

$k = (- 12 \pm s q r t (144 - - 256)) / (2 * - 4)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k = (- 12 \pm s q r t (144 + 256)) / (2 * - 4)$

$k = (- 12 \pm s q r t (400)) / (2 * - 4)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k = (- 12 \pm s q r t (400)) / (- 8)$

para obter o resultado:

$k = (- 12 \pm s q r t (400)) / (- 8)$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(400)}$

Simplificar $400$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>400</math>:

A fatoração prima de $400$ é $2^{4} \cdot 5^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{400} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 5$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 5 = 4 \cdot 5$

$4 \cdot 5 = 20$

4. Resolver a equação para k

$k = (- 12 \pm 20) / (- 8)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $k_{1} = (- 12 + 20) / (- 8)$ e $k_{2} = (- 12 - 20) / (- 8)$

$k_{1} = (- 12 + 20) / (- 8)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{1} = (- 12 + 20) / (- 8)$

$k_{1} = (8) / (- 8)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{1} = \frac{8}{-} 8$

$k_{1} = - 1$

$k_{2} = (- 12 - 20) / (- 8)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$k_{2} = (- 12 - 20) / (- 8)$

$k_{2} = (- 32) / (- 8)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$k_{2} = - \frac{32}{-} 8$

$k_{2} = 4$

5. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1, 4.

Uma vez que o coeficiente $a$ é negativo ( $a$ =-4), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

6. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $- 4 k^{2} + 12 k + 16 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

3. Simplificar a raiz quadrada (400)

4. Resolver a equação para k

5. Encontrar os intervalos

6. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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