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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = \frac{7}{6} + \frac{- i \sqrt{11}}{6}, x_{2} = \frac{7}{6} + \frac{i \sqrt{11}}{6}

x_{1}=\frac{7}{6}+\frac{-i\sqrt{11}}{6} , x_{2}=\frac{7}{6}+\frac{i\sqrt{11}}{6}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Subtrair $5$ de ambos os lados da desigualdade:

$- 3 x^{2} + 7 x > 5$

Subtrair $5$ de ambos os lados:

$- 3 x^{2} + 7 x - 5 > 5 - 5$

Simplificar a expressão

$- 3 x^{2} + 7 x - 5 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 3 x^{2} + 7 x - 5 > 0$ , são:

$a$ = -3

$b$ = 7

$c$ = -5

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 3$
$b = 7$
$c = - 5$

$x = (- 7 \pm s q r t (7^{2} - 4 * - 3 * - 5)) / (2 * - 3)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 7 \pm s q r t (49 - 4 * - 3 * - 5)) / (2 * - 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 7 \pm s q r t (49 - - 12 * - 5)) / (2 * - 3)$

$x = (- 7 \pm s q r t (49 - 60)) / (2 * - 3)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 7 \pm s q r t (- 11)) / (2 * - 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 7 \pm s q r t (- 11)) / (- 6)$

para obter o resultado:

$x = (- 7 \pm s q r t (- 11)) / (- 6)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 11)}$

Simplificar $- 11$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 11$ é $i \sqrt{11}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 11} = \sqrt{(- 1) \cdot 11}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 11} = i \sqrt{11}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{11} = i \sqrt{11}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 7 \pm i s q r t (11)) / (- 6)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 7 + i s q r t (11)) / (- 6)$ e $x_{2} = (- 7 - i s q r t (11)) / (- 6)$

2 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 7 + i \sqrt{11})}{- 6}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{1} = \frac{- (- 7 + i \sqrt{11})}{6}$

Expandir os parêntesis:

$x_{1} = \frac{(7 - i \sqrt{11})}{6}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{7}{6} + \frac{- i \sqrt{11}}{6}$

2 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 7 - i \sqrt{11})}{- 6}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{2} = \frac{- (- 7 - i \sqrt{11})}{6}$

Expandir os parêntesis:

$x_{2} = \frac{(7 + i \sqrt{11})}{6}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{7}{6} + \frac{i \sqrt{11}}{6}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas