Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(6^2-4*-3*5\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36-4*-3*5\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36--12*5\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36--60\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(36+60\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(96\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(96\right)\right)/\left(-6\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-6\pm sqrt\left(96\right)\right)/\left(-6\right)$$

Simplificar $$96$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$96$$ é $$2^5\cdot 3$$

$$x=\left(-6\pm 4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-6\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-6+4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-6\right)$$ e $$x_2=\left(-6-4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-6+4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-6+4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-6+4*2,449\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-6+4*2,449\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-6+9,798\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-6+9,798\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(3,798\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=3,\frac{798}{-}6$$

$$x_1=-0,633$$

$$x_2=\left(-6-4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-6-4*2,449\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-6-4*2,449\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-6-9,798\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-6-9,798\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-15,798\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=-15,\frac{798}{-}6$$

$$x_2=2,633$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,633, 2,633.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-3), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-3x^2+6x+5>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$