Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-16\pm sqrt\left({16}^2-4*-3*-12\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-16\pm sqrt\left(256-4*-3*-12\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-16\pm sqrt\left(256--12*-12\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-16\pm sqrt\left(256-144\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-16\pm sqrt\left(112\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-16\pm sqrt\left(112\right)\right)/\left(-6\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-16\pm sqrt\left(112\right)\right)/\left(-6\right)$$

Simplificar $$112$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$112$$ é $$2^4\cdot 7$$

$$x=\left(-16\pm 4*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-6\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-16+4*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-6\right)$$ e $$x_2=\left(-16-4*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-16+4*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-16+4*2,646\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-16+4*2,646\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-16+10,583\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-16+10,583\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-5,417\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=-5,\frac{417}{-}6$$

$$x_1=0,903$$

$$x_2=\left(-16-4*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-16-4*2,646\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-16-4*2,646\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-16-10,583\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-16-10,583\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-26,583\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=-26,\frac{583}{-}6$$

$$x_2=4,431$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,903, 4,431.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-3), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-3x^2+16x-12>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$