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Introduzir uma equação ou problema

Entrada de câmara não reconhecida!

a

x

y

/

|abs|

( )

7

8

9

*

$fraction$

4

5

6

-

%

1

2

3

+

<

>

0

,

.

=

abc

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

␣

.

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

x \leq - 2, 667 or x \geq 3, 5

x<=-2,667 or x>=3,5

Notação de intervalo:

x \in (- \infty, - 2, 667) ⋃ [3, 5, \infty]

x∈(-∞,-2,667]⋃[3,5,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

12 passos adicionais

$- 3 \cdot (x^{2} + 4) < = 3 x^{2} - 5 x - 68$

Expandir os parêntesis:

$- 3 x^{2} - 3 \cdot 4 < = 3 x^{2} - 5 x - 68$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 3 x^{2} - 12 < = 3 x^{2} - 5 x - 68$

Adicionar $12$ em ambos os lados:

$(- 3 x^{2} - 12) + 5 x < = (3 x^{2} - 5 x - 68) + 5 x$

Agrupar termos semelhantes:

$(- 3 x^{2} - 12) + 5 x < = 3 x^{2} + (- 5 x + 5 x) - 68$

Simplificar a expressão aritmética:

$(- 3 x^{2} - 12) + 5 x < = 3 x^{2} - 68$

Subtrair 12 de ambos os lados:

$((- 3 x^{2} - 12) + 5 x) - 3 x^{2} < = (3 x^{2} - 68) - 3 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(- 3 x^{2} - 3 x^{2}) + 5 x - 12 < = (3 x^{2} - 68) - 3 x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 6 x^{2} + 5 x - 12 < = (3 x^{2} - 68) - 3 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$- 6 x^{2} + 5 x - 12 < = (3 x^{2} - 3 x^{2}) - 68$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 6 x^{2} + 5 x - 12 < = - 68$

Adicionar $12$ em ambos os lados:

$(- 6 x^{2} + 5 x - 12) + 12 < = - 68 + 12$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 6 x^{2} + 5 x < = - 68 + 12$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 6 x^{2} + 5 x < = - 56$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c \leq 0$

Adicionar $- 56$ a ambos os lados da equação.

$- 6 x^{2} + 5 x \leq - 56$

Adicionar $- 56$ a ambos os lados da equação.

$- 6 x^{2} + 5 x + 56 \leq - 56 + 56$

Simplificar a expressão

$- 6 x^{2} + 5 x + 56 \leq 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 6 x^{2} + 5 x + 56 \leq 0$ , são:

$a$ = -6

$b$ = 5

$c$ = 56

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 6$
$b = 5$
$c = 56$

$x = (- 5 \pm s q r t (5^{2} - 4 * - 6 * 56)) / (2 * - 6)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 5 \pm s q r t (25 - 4 * - 6 * 56)) / (2 * - 6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 5 \pm s q r t (25 - - 24 * 56)) / (2 * - 6)$

$x = (- 5 \pm s q r t (25 - - 1344)) / (2 * - 6)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 5 \pm s q r t (25 + 1344)) / (2 * - 6)$

$x = (- 5 \pm s q r t (1369)) / (2 * - 6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 5 \pm s q r t (1369)) / (- 12)$

para obter o resultado:

$x = (- 5 \pm s q r t (1369)) / (- 12)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(1369)}$

Simplificar $1369$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>1369</math>:

A fatoração prima de $1369$ é $37^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{1369} = \sqrt{37 \cdot 37}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{37 \cdot 37} = \sqrt{37^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{37^{2}} = 37$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 5 \pm 37) / (- 12)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 5 + 37) / (- 12)$ e $x_{2} = (- 5 - 37) / (- 12)$

$x_{1} = (- 5 + 37) / (- 12)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (- 5 + 37) / (- 12)$

$x_{1} = (32) / (- 12)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{32}{-} 12$

$x_{1} = - 2, 667$

$x_{2} = (- 5 - 37) / (- 12)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (- 5 - 37) / (- 12)$

$x_{2} = (- 42) / (- 12)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{42}{-} 12$

$x_{2} = 3, 5$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2,667, 3,5.

Uma vez que o coeficiente $a$ é negativo ( $a$ =-6), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $- 6 x^{2} + 5 x + 56 \leq 0$ tem um sinal de desigualdade $\leq$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

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