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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{- i \sqrt{31}}{4}, x_{2} = \frac{7}{4} + \frac{i \sqrt{31}}{4}

x_{1}=\frac{7}{4}+\frac{-i\sqrt{31}}{4} , x_{2}=\frac{7}{4}+\frac{i\sqrt{31}}{4}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 2 x^{2} + 7 x - 10 < 0$ , são:

$a$ = -2

$b$ = 7

$c$ = -10

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 2$
$b = 7$
$c = - 10$

$x = (- 7 \pm s q r t (7^{2} - 4 * - 2 * - 10)) / (2 * - 2)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 7 \pm s q r t (49 - 4 * - 2 * - 10)) / (2 * - 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 7 \pm s q r t (49 - - 8 * - 10)) / (2 * - 2)$

$x = (- 7 \pm s q r t (49 - 80)) / (2 * - 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 7 \pm s q r t (- 31)) / (2 * - 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 7 \pm s q r t (- 31)) / (- 4)$

para obter o resultado:

$x = (- 7 \pm s q r t (- 31)) / (- 4)$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 31)}$

Simplificar $- 31$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 31$ é $i \sqrt{31}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 31} = \sqrt{(- 1) \cdot 31}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 31} = i \sqrt{31}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{31} = i \sqrt{31}$

4. Resolver a equação para x

$x = (- 7 \pm i s q r t (31)) / (- 4)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 7 + i s q r t (31)) / (- 4)$ e $x_{2} = (- 7 - i s q r t (31)) / (- 4)$

2 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 7 + i \sqrt{31})}{- 4}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{1} = \frac{- (- 7 + i \sqrt{31})}{4}$

Expandir os parêntesis:

$x_{1} = \frac{(7 - i \sqrt{31})}{4}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{- i \sqrt{31}}{4}$

2 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 7 - i \sqrt{31})}{- 4}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{2} = \frac{- (- 7 - i \sqrt{31})}{4}$

Expandir os parêntesis:

$x_{2} = \frac{(7 + i \sqrt{31})}{4}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{7}{4} + \frac{i \sqrt{31}}{4}$

5. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática