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Introduzir uma equação ou problema

Entrada de câmara não reconhecida!

a

x

y

/

|abs|

( )

7

8

9

*

$fraction$

4

5

6

-

%

1

2

3

+

<

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0

,

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=

abc

a

b

c

d

e

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h

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j

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l

m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

␣

.

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

6 < x < 18

6<x<18

Notação de intervalo:

x \in (6; 18)

x∈(6;18)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

14 passos adicionais

$- 2 x^{2} + 36 x > (x - 18) \cdot (x - 18)$

Expandir os parêntesis:

$- 2 x^{2} + 36 x > x \cdot (x - 18) - 18 \cdot (x - 18)$

$- 2 x^{2} + 36 x > x \cdot x + x \cdot - 18 - 18 \cdot (x - 18)$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} + x \cdot - 18 - 18 \cdot (x - 18)$

Expandir os parêntesis:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} - 18 x - 18 x - 18 \cdot - 18$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} - 18 x - 18 x + 324$

Combinar termos semelhantes:

$- 2 x^{2} + 36 x > x^{2} - 36 x + 324$

Adicionar $x^{2}$ em ambos os lados:

$(- 2 x^{2} + 36 x) + 36 x > (x^{2} - 36 x + 324) + 36 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 2 x^{2} + 72 x > (x^{2} - 36 x + 324) + 36 x$

Agrupar termos semelhantes:

$- 2 x^{2} + 72 x > x^{2} + (- 36 x + 36 x) + 324$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 2 x^{2} + 72 x > x^{2} + 324$

Subtrair {x}^{2} de ambos os lados:

$(- 2 x^{2} + 72 x) - x^{2} > (x^{2} + 324) - x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(- 2 x^{2} - x^{2}) + 72 x > (x^{2} + 324) - x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 3 x^{2} + 72 x > (x^{2} + 324) - x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$- 3 x^{2} + 72 x > (x^{2} - x^{2}) + 324$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 3 x^{2} + 72 x > 324$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Subtrair $324$ de ambos os lados da desigualdade:

$- 3 x^{2} + 72 x > 324$

Subtrair $324$ de ambos os lados:

$- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 324 - 324$

Simplificar a expressão

$- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 0$ , são:

$a$ = -3

$b$ = 72

$c$ = -324

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 3$
$b = 72$
$c = - 324$

$x = (- 72 \pm s q r t (72^{2} - 4 * - 3 * - 324)) / (2 * - 3)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 72 \pm s q r t (5184 - 4 * - 3 * - 324)) / (2 * - 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 72 \pm s q r t (5184 - - 12 * - 324)) / (2 * - 3)$

$x = (- 72 \pm s q r t (5184 - 3888)) / (2 * - 3)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 72 \pm s q r t (1296)) / (2 * - 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 72 \pm s q r t (1296)) / (- 6)$

para obter o resultado:

$x = (- 72 \pm s q r t (1296)) / (- 6)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(1296)}$

Simplificar $1296$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>1296</math>:

A fatoração prima de $1296$ é $2^{4} \cdot 3^{4}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{1296} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 3 \cdot 3$

$4 \cdot 3 \cdot 3 = 12 \cdot 3$

$12 \cdot 3 = 36$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 72 \pm 36) / (- 6)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 72 + 36) / (- 6)$ e $x_{2} = (- 72 - 36) / (- 6)$

$x_{1} = (- 72 + 36) / (- 6)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (- 72 + 36) / (- 6)$

$x_{1} = (- 36) / (- 6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = - \frac{36}{-} 6$

$x_{1} = 6$

$x_{2} = (- 72 - 36) / (- 6)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (- 72 - 36) / (- 6)$

$x_{2} = (- 108) / (- 6)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{108}{-} 6$

$x_{2} = 18$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 6, 18.

Uma vez que o coeficiente $a$ é negativo ( $a$ =-3), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $- 3 x^{2} + 72 x - 324 > 0$ tem um sinal de desigualdade $>$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

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