Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(2^2-4*-2*3\right)\right)/\left(2*-2\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4-4*-2*3\right)\right)/\left(2*-2\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4--8*3\right)\right)/\left(2*-2\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4--24\right)\right)/\left(2*-2\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4+24\right)\right)/\left(2*-2\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(2*-2\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(-4\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(-4\right)$$

Simplificar $$28$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$28$$ é $$2^2\cdot 7$$

$$x=\left(-2\pm 2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-4\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-4\right)$$ e $$x_2=\left(-2-2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-4\right)$$

$$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-4\right)$$

$$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-4\right)$$

$$x_1=\left(-2+2*2,646\right)/\left(-4\right)$$

$$x_1=\left(-2+2*2,646\right)/\left(-4\right)$$

$$x_1=\left(-2+5,292\right)/\left(-4\right)$$

$$x_1=\left(-2+5,292\right)/\left(-4\right)$$

$$x_1=\left(3,292\right)/\left(-4\right)$$

$$x_1=3,\frac{292}{-}4$$

$$x_1=-0,823$$

$$x_2=\left(-2-2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-4\right)$$

$$x_2=\left(-2-2*2,646\right)/\left(-4\right)$$

$$x_2=\left(-2-2*2,646\right)/\left(-4\right)$$

$$x_2=\left(-2-5,292\right)/\left(-4\right)$$

$$x_2=\left(-2-5,292\right)/\left(-4\right)$$

$$x_2=\left(-7,292\right)/\left(-4\right)$$

$$x_2=-7,\frac{292}{-}4$$

$$x_2=1,823$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,823, 1,823.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-2), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-2x^2+2x+3<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$