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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{- 5}{2} i, x_{2} = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} i

x_{1}=\frac{5}{2}+\frac{-5}{2}i , x_{2}=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}i

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 2 x^{2} + 10 x - 25 \leq 0$ , são:

$a$ = -2

$b$ = 10

$c$ = -25

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 2$
$b = 10$
$c = - 25$

$x = (- 10 \pm s q r t (10^{2} - 4 * - 2 * - 25)) / (2 * - 2)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 4 * - 2 * - 25)) / (2 * - 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - - 8 * - 25)) / (2 * - 2)$

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 200)) / (2 * - 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 10 \pm s q r t (- 100)) / (2 * - 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 10 \pm s q r t (- 100)) / (- 4)$

para obter o resultado:

$x = (- 10 \pm s q r t (- 100)) / (- 4)$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 100)}$

Simplificar $- 100$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 100$ é $10 i$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 100} = \sqrt{(- 1) \cdot 100}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 100} = i \sqrt{100}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{100} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = i \sqrt{2^{2} \cdot 5^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 5^{2}} = 2 \cdot 5 i$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 5 i = 10 i$

4. Resolver a equação para x

$x = (- 10 \pm 10 i) / (- 4)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 10 + 10 i) / (- 4)$ e $x_{2} = (- 10 - 10 i) / (- 4)$

5 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 10 + 10 i)}{- 4}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{1} = \frac{- (- 10 + 10 i)}{4}$

Expandir os parêntesis:

$x_{1} = \frac{(10 - 10 i)}{4}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{10}{4} + \frac{- 10 i}{4}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(5 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{- 10 i}{4}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{- 10 i}{4}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{- 5}{2} i$

5 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 10 - 10 i)}{- 4}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{2} = \frac{- (- 10 - 10 i)}{4}$

Expandir os parêntesis:

$x_{2} = \frac{(10 + 10 i)}{4}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{10}{4} + \frac{10 i}{4}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(5 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{10 i}{4}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = \frac{5}{2} + \frac{10 i}{4}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} i$

5. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

3. Simplificar a raiz quadrada (−100)

4. Resolver a equação para x

5. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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