Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 2, 5 \leq x \leq 0, 75

-2,5<=x<=0,75

Notação de intervalo:

x \in [- 2, 5, 0, 75]

x∈[-2,5,0,75]

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Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

12 passos adicionais

$- 2 \cdot (4 x^{2} + 6 x) + 9 > = 2 \cdot (x - 3)$

Expandir os parêntesis:

$- 2 \cdot 4 x^{2} - 2 \cdot 6 x + 9 > = 2 \cdot (x - 3)$

Multiplicar coeficientes:

$- 8 x^{2} - 2 \cdot 6 x + 9 > = 2 \cdot (x - 3)$

$- 8 x^{2} - 12 x + 9 > = 2 \cdot (x - 3)$

Expandir os parêntesis:

$- 8 x^{2} - 12 x + 9 > = 2 x + 2 \cdot - 3$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 8 x^{2} - 12 x + 9 > = 2 x - 6$

Subtrair 9 de ambos os lados:

$(- 8 x^{2} - 12 x + 9) - 2 x > = (2 x - 6) - 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$- 8 x^{2} + (- 12 x - 2 x) + 9 > = (2 x - 6) - 2 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 8 x^{2} - 14 x + 9 > = (2 x - 6) - 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$- 8 x^{2} - 14 x + 9 > = (2 x - 2 x) - 6$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 8 x^{2} - 14 x + 9 > = - 6$

Subtrair 9 de ambos os lados:

$(- 8 x^{2} - 14 x + 9) - 9 > = - 6 - 9$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 8 x^{2} - 14 x > = - 6 - 9$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 8 x^{2} - 14 x > = - 15$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c \geq 0$

Adicionar $- 15$ a ambos os lados da equação.

$- 8 x^{2} - 14 x \geq - 15$

Adicionar $- 15$ a ambos os lados da equação.

$- 8 x^{2} - 14 x + 15 \geq - 15 + 15$

Simplificar a expressão

$- 8 x^{2} - 14 x + 15 \geq 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 8 x^{2} - 14 x + 15 \geq 0$ , são:

$a$ = -8

$b$ = -14

$c$ = 15

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 8$
$b = - 14$
$c = 15$

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (- 14^{2} - 4 * - 8 * 15)) / (2 * - 8)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (196 - 4 * - 8 * 15)) / (2 * - 8)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (196 - - 32 * 15)) / (2 * - 8)$

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (196 - - 480)) / (2 * - 8)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (196 + 480)) / (2 * - 8)$

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (676)) / (2 * - 8)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 14 \pm s q r t (676)) / (- 16)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (14 \pm s q r t (676)) / (- 16)$

para obter o resultado:

$x = (14 \pm s q r t (676)) / (- 16)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(676)}$

Simplificar $676$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>676</math>:

A fatoração prima de $676$ é $2^{2} \cdot 13^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{676} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 13}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 13} = \sqrt{2^{2} \cdot 13^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 13^{2}} = 2 \cdot 13$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 13 = 26$

5. Resolver a equação para x

$x = (14 \pm 26) / (- 16)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (14 + 26) / (- 16)$ e $x_{2} = (14 - 26) / (- 16)$

$x_{1} = (14 + 26) / (- 16)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (14 + 26) / (- 16)$

$x_{1} = (40) / (- 16)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{40}{-} 16$

$x_{1} = - 2, 5$

$x_{2} = (14 - 26) / (- 16)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (14 - 26) / (- 16)$

$x_{2} = (- 12) / (- 16)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{12}{-} 16$

$x_{2} = 0, 75$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2,5, 0,75.

Uma vez que o coeficiente $a$ é negativo ( $a$ =-8), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $- 8 x^{2} - 14 x + 15 \geq 0$ tem um sinal de desigualdade $\geq$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (676)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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