Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(-8^2-4*-1*19\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-4*-1*19\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64--4*19\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64--76\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64+76\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(140\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(140\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x=\left(8\pm sqrt\left(140\right)\right)/\left(-2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(8\pm sqrt\left(140\right)\right)/\left(-2\right)$$

Simplificar $$140$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$140$$ é $$2^2\cdot 5\cdot 7$$

$$x=\left(8\pm 2*sqrt\left(35\right)\right)/\left(-2\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(8+2*sqrt\left(35\right)\right)/\left(-2\right)$$ e $$x_2=\left(8-2*sqrt\left(35\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(8+2*sqrt\left(35\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(8+2*sqrt\left(35\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(8+2*5,916\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(8+2*5,916\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(8+11,832\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(8+11,832\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(19,832\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=19,\frac{832}{-}2$$

$$x_1=-9,916$$

$$x_2=\left(8-2*sqrt\left(35\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(8-2*5,916\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(8-2*5,916\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(8-11,832\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(8-11,832\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-3,832\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=-3,\frac{832}{-}2$$

$$x_2=1,916$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -9,916, 1,916.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-1x^2-8x+19<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$