Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(-6^2-4*-1*-1\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36-4*-1*-1\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36--4*-1\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36-4\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(32\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-6\pm sqrt\left(32\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x=\left(6\pm sqrt\left(32\right)\right)/\left(-2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(6\pm sqrt\left(32\right)\right)/\left(-2\right)$$

Simplificar $$32$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$32$$ é $$2^5$$

$$x=\left(6\pm 4*sqrt\left(2\right)\right)/\left(-2\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(6+4*sqrt\left(2\right)\right)/\left(-2\right)$$ e $$x_2=\left(6-4*sqrt\left(2\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(6+4*sqrt\left(2\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(6+4*sqrt\left(2\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(6+4*1,414\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(6+4*1,414\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(6+5,657\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(6+5,657\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(11,657\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=11,\frac{657}{-}2$$

$$x_1=-5,828$$

$$x_2=\left(6-4*sqrt\left(2\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(6-4*sqrt\left(2\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(6-4*1,414\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(6-4*1,414\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(6-5,657\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(6-5,657\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(0,343\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=0,\frac{343}{-}2$$

$$x_2=-0,172$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -5,828, -0,172.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-1x^2-6x-1\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$