Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(-4^2-4*-1*1\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-4*-1*1\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16--4*1\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16--4\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16+4\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(20\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(20\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x=\left(4\pm sqrt\left(20\right)\right)/\left(-2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(4\pm sqrt\left(20\right)\right)/\left(-2\right)$$

Simplificar $$20$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$20$$ é $$2^2\cdot 5$$

$$x=\left(4\pm 2*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-2\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(4+2*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-2\right)$$ e $$x_2=\left(4-2*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(4+2*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(4+2*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(4+2*2,236\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(4+2*2,236\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(4+4,472\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(4+4,472\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(8,472\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=8,\frac{472}{-}2$$

$$x_1=-4,236$$

$$x_2=\left(4-2*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(4-2*2,236\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(4-2*2,236\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(4-4,472\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(4-4,472\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-0,472\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=-0,\frac{472}{-}2$$

$$x_2=0,236$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -4,236, 0,236.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-1x^2-4x+1>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$