Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(2^2-4*-1*5\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4-4*-1*5\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4--4*5\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4--20\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4+20\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(24\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(24\right)\right)/\left(-2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(24\right)\right)/\left(-2\right)$$

Simplificar $$24$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$24$$ é $$2^3\cdot 3$$

$$x=\left(-2\pm 2*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-2\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-2\right)$$ e $$x_2=\left(-2-2*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-2+2*2,449\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-2+2*2,449\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-2+4,899\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(-2+4,899\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(2,899\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=2,\frac{899}{-}2$$

$$x_1=-1,449$$

$$x_2=\left(-2-2*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-2-2*2,449\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-2-2*2,449\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-2-4,899\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-2-4,899\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(-6,899\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=-6,\frac{899}{-}2$$

$$x_2=3,449$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,449, 3,449.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-1x^2+2x+5\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$