Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(-{31}^2-4*-18*5\right)\right)/\left(2*-18\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(961-4*-18*5\right)\right)/\left(2*-18\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(961--72*5\right)\right)/\left(2*-18\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(961--360\right)\right)/\left(2*-18\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(961+360\right)\right)/\left(2*-18\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(1321\right)\right)/\left(2*-18\right)$$

$$x=\left(-1*-31\pm sqrt\left(1321\right)\right)/\left(-36\right)$$

$$x=\left(31\pm sqrt\left(1321\right)\right)/\left(-36\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(31\pm sqrt\left(1321\right)\right)/\left(-36\right)$$

Simplificar $$1321$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$1321$$ é $$1321$$

$$x=\left(31\pm sqrt\left(1321\right)\right)/\left(-36\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(31+sqrt\left(1321\right)\right)/\left(-36\right)$$ e $$x_2=\left(31-sqrt\left(1321\right)\right)/\left(-36\right)$$

$$x_1=\left(31+sqrt\left(1321\right)\right)/\left(-36\right)$$

$$x_1=\left(31+sqrt\left(1321\right)\right)/\left(-36\right)$$

$$x_1=\left(31+36,346\right)/\left(-36\right)$$

$$x_1=\left(31+36,346\right)/\left(-36\right)$$

$$x_1=\left(67,346\right)/\left(-36\right)$$

$$x_1=67,\frac{346}{-}36$$

$$x_1=-1,871$$

$$x_2=\left(31-sqrt\left(1321\right)\right)/\left(-36\right)$$

$$x_2=\left(31-36,346\right)/\left(-36\right)$$

$$x_2=\left(31-36,346\right)/\left(-36\right)$$

$$x_2=\left(-5,346\right)/\left(-36\right)$$

$$x_2=-5,\frac{346}{-}36$$

$$x_2=0,148$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,871, 0,148.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-18), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-18x^2-31x+5\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$