Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-40\pm sqrt\left({40}^2-4*-16*-20\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-40\pm sqrt\left(1600-4*-16*-20\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-40\pm sqrt\left(1600--64*-20\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-40\pm sqrt\left(1600-1280\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-40\pm sqrt\left(320\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-40\pm sqrt\left(320\right)\right)/\left(-32\right)$$

para obter o resultado:

$$t=\left(-40\pm sqrt\left(320\right)\right)/\left(-32\right)$$

Simplificar $$320$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$320$$ é $$2^6\cdot 5$$

$$t=\left(-40\pm 8*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-32\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(-40+8*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-32\right)$$ e $$t_2=\left(-40-8*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-40+8*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-40+8*2,236\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-40+8*2,236\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-40+17,889\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-40+17,889\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-22,111\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=-22,\frac{111}{-}32$$

$$t_1=0,691$$

$$t_2=\left(-40-8*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-40-8*2,236\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-40-8*2,236\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-40-17,889\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-40-17,889\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-57,889\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=-57,\frac{889}{-}32$$

$$t_2=1,809$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,691, 1,809.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-16), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-16t^2+40t-20>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$