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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

t \in (- \infty, \infty)

t∈(-∞,∞)

Solução:

t_{1} = \frac{35}{32} + \frac{- 5 i \cdot \sqrt{15}}{32}, t_{2} = \frac{35}{32} + \frac{5 i \cdot \sqrt{15}}{32}

t_{1}=\frac{35}{32}+\frac{-5i\cdot\sqrt{15}}{32} , t_{2}=\frac{35}{32}+\frac{5i\cdot\sqrt{15}}{32}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a t^{2} + b t + c < 0$

Subtrair $30$ de ambos os lados da desigualdade:

$- 16 t^{2} + 35 t + 5 < 30$

Subtrair $30$ de ambos os lados:

$- 16 t^{2} + 35 t + 5 - 30 < 30 - 30$

Simplificar a expressão

$- 16 t^{2} + 35 t - 25 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 16 t^{2} + 35 t - 25 < 0$ , são:

$a$ = -16

$b$ = 35

$c$ = -25

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a t^{2} + b t + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$t = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 16$
$b = 35$
$c = - 25$

$t = (- 35 \pm s q r t (35^{2} - 4 * - 16 * - 25)) / (2 * - 16)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$t = (- 35 \pm s q r t (1225 - 4 * - 16 * - 25)) / (2 * - 16)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$t = (- 35 \pm s q r t (1225 - - 64 * - 25)) / (2 * - 16)$

$t = (- 35 \pm s q r t (1225 - 1600)) / (2 * - 16)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$t = (- 35 \pm s q r t (- 375)) / (2 * - 16)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$t = (- 35 \pm s q r t (- 375)) / (- 32)$

para obter o resultado:

$t = (- 35 \pm s q r t (- 375)) / (- 32)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 375)}$

Simplificar $- 375$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 375$ é $5 i \cdot \sqrt{15}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 375} = \sqrt{(- 1) \cdot 375}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 375} = i \sqrt{375}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{375} = i \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = i \sqrt{3 \cdot 5^{2} \cdot 5}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{3 \cdot 5^{2} \cdot 5} = 5 i \cdot \sqrt{3 \cdot 5}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$5 i \cdot \sqrt{3 \cdot 5} = 5 i \cdot \sqrt{15}$

5. Resolver a equação para t

$t = (- 35 \pm 5 i * s q r t (15)) / (- 32)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $t_{1} = (- 35 + 5 i * s q r t (15)) / (- 32)$ e $t_{2} = (- 35 - 5 i * s q r t (15)) / (- 32)$

2 passos adicionais

$t_{1} = \frac{(- 35 + 5 i \cdot \sqrt{15})}{- 32}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$t_{1} = \frac{- (- 35 + 5 i \cdot \sqrt{15})}{32}$

Expandir os parêntesis:

$t_{1} = \frac{(35 - 5 i \cdot \sqrt{15})}{32}$

Quebrar a fração:

$t_{1} = \frac{35}{32} + \frac{- 5 i \cdot \sqrt{15}}{32}$

2 passos adicionais

$t_{2} = \frac{(- 35 - 5 i \cdot \sqrt{15})}{- 32}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$t_{2} = \frac{- (- 35 - 5 i \cdot \sqrt{15})}{32}$

Expandir os parêntesis:

$t_{2} = \frac{(35 + 5 i \cdot \sqrt{15})}{32}$

Quebrar a fração:

$t_{2} = \frac{35}{32} + \frac{5 i \cdot \sqrt{15}}{32}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (−375)

5. Resolver a equação para t

6. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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