Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$-16t^2+35t-15<0$$, são:

$$a$$ = -16

$$b$$ = 35

$$c$$ = -15

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left({35}^2-4*-16*-15\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(1225-4*-16*-15\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(1225--64*-15\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(1225-960\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(265\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(265\right)\right)/\left(-32\right)$$

para obter o resultado:

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(265\right)\right)/\left(-32\right)$$

Simplificar $$265$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$265$$ é $$5\cdot 53$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(265\right)\right)/\left(-32\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(-35+sqrt\left(265\right)\right)/\left(-32\right)$$ e $$t_2=\left(-35-sqrt\left(265\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-35+sqrt\left(265\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-35+16,279\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-35+16,279\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-18,721\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=-18,\frac{721}{-}32$$

$$t_1=0,585$$

$$t_2=\left(-35-sqrt\left(265\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-35-16,279\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-35-16,279\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-51,279\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=-51,\frac{279}{-}32$$

$$t_2=1,602$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,585, 1,602.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-16), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-16t^2+35t-15<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$