Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$-16t^2+35t-5<0$$, são:

$$a$$ = -16

$$b$$ = 35

$$c$$ = -5

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left({35}^2-4*-16*-5\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(1225-4*-16*-5\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(1225--64*-5\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(1225-320\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(905\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(905\right)\right)/\left(-32\right)$$

para obter o resultado:

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(905\right)\right)/\left(-32\right)$$

Simplificar $$905$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$905$$ é $$5\cdot 181$$

$$t=\left(-35\pm sqrt\left(905\right)\right)/\left(-32\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(-35+sqrt\left(905\right)\right)/\left(-32\right)$$ e $$t_2=\left(-35-sqrt\left(905\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-35+sqrt\left(905\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-35+30,083\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-35+30,083\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-4,917\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=-4,\frac{917}{-}32$$

$$t_1=0,154$$

$$t_2=\left(-35-sqrt\left(905\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-35-30,083\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-35-30,083\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-65,083\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=-65,\frac{083}{-}32$$

$$t_2=2,034$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,154, 2,034.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-16), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-16t^2+35t-5<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$