Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$-16t^2+180t-300>0$$, são:

$$a$$ = -16

$$b$$ = 180

$$c$$ = -300

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-180\pm sqrt\left({180}^2-4*-16*-300\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-180\pm sqrt\left(32400-4*-16*-300\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-180\pm sqrt\left(32400--64*-300\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-180\pm sqrt\left(32400-19200\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-180\pm sqrt\left(13200\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$t=\left(-180\pm sqrt\left(13200\right)\right)/\left(-32\right)$$

para obter o resultado:

$$t=\left(-180\pm sqrt\left(13200\right)\right)/\left(-32\right)$$

Simplificar $$13200$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$13200$$ é $$2^4\cdot 3\cdot 5^2\cdot 11$$

$$t=\left(-180\pm 20*sqrt\left(33\right)\right)/\left(-32\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(-180+20*sqrt\left(33\right)\right)/\left(-32\right)$$ e $$t_2=\left(-180-20*sqrt\left(33\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-180+20*sqrt\left(33\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-180+20*5,745\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-180+20*5,745\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-180+114,891\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-180+114,891\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=\left(-65,109\right)/\left(-32\right)$$

$$t_1=-65,\frac{109}{-}32$$

$$t_1=2,035$$

$$t_2=\left(-180-20*sqrt\left(33\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-180-20*5,745\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-180-20*5,745\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-180-114,891\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-180-114,891\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=\left(-294,891\right)/\left(-32\right)$$

$$t_2=-294,\frac{891}{-}32$$

$$t_2=9,215$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 2,035, 9,215.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-16), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-16t^2+180t-300>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$