Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left({22}^2-4*-15*37\right)\right)/\left(2*-15\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(484-4*-15*37\right)\right)/\left(2*-15\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(484--60*37\right)\right)/\left(2*-15\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(484--2220\right)\right)/\left(2*-15\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(484+2220\right)\right)/\left(2*-15\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(2704\right)\right)/\left(2*-15\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(2704\right)\right)/\left(-30\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(2704\right)\right)/\left(-30\right)$$

Simplificar $$2704$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$2704$$ é $$2^4\cdot {13}^2$$

$$x=\left(-22\pm 52\right)/\left(-30\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-22+52\right)/\left(-30\right)$$ e $$x_2=\left(-22-52\right)/\left(-30\right)$$

$$x_1=\left(-22+52\right)/\left(-30\right)$$

$$x_1=\left(-22+52\right)/\left(-30\right)$$

$$x_1=\left(30\right)/\left(-30\right)$$

$$x_1=\frac{30}{-}30$$

$$x_1=-1$$

$$x_2=\left(-22-52\right)/\left(-30\right)$$

$$x_2=\left(-22-52\right)/\left(-30\right)$$

$$x_2=\left(-74\right)/\left(-30\right)$$

$$x_2=-\frac{74}{-}30$$

$$x_2=2,467$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1, 2,467.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-15), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-15x^2+22x+37>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$