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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = \frac{7}{15} + \frac{- 2}{15} i \cdot \sqrt{29}, x_{2} = \frac{7}{15} + \frac{2}{15} i \cdot \sqrt{29}

x_{1}=\frac{7}{15}+\frac{-2}{15}i\cdot\sqrt{29} , x_{2}=\frac{7}{15}+\frac{2}{15}i\cdot\sqrt{29}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 15 x^{2} + 14 x - 11 \geq 0$ , são:

$a$ = -15

$b$ = 14

$c$ = -11

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 15$
$b = 14$
$c = - 11$

$x = (- 14 \pm s q r t (14^{2} - 4 * - 15 * - 11)) / (2 * - 15)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 14 \pm s q r t (196 - 4 * - 15 * - 11)) / (2 * - 15)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 14 \pm s q r t (196 - - 60 * - 11)) / (2 * - 15)$

$x = (- 14 \pm s q r t (196 - 660)) / (2 * - 15)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 14 \pm s q r t (- 464)) / (2 * - 15)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 14 \pm s q r t (- 464)) / (- 30)$

para obter o resultado:

$x = (- 14 \pm s q r t (- 464)) / (- 30)$

3. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 464)}$

Simplificar $- 464$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 464$ é $4 i \cdot \sqrt{29}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 464} = \sqrt{(- 1) \cdot 464}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 464} = i \sqrt{464}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{464} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 29}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 29} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 29}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 29} = 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{29}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{29} = 4 i \cdot \sqrt{29}$

4. Resolver a equação para x

$x = (- 14 \pm 4 i * s q r t (29)) / (- 30)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 14 + 4 i * s q r t (29)) / (- 30)$ e $x_{2} = (- 14 - 4 i * s q r t (29)) / (- 30)$

5 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 14 + 4 i \cdot \sqrt{29})}{- 30}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{1} = \frac{- (- 14 + 4 i \cdot \sqrt{29})}{30}$

Expandir os parêntesis:

$x_{1} = \frac{(14 - 4 i \cdot \sqrt{29})}{30}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{14}{30} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{29}}{30}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(7 \cdot 2)}{(15 \cdot 2)} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{29}}{30}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = \frac{7}{15} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{29}}{30}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = \frac{7}{15} + \frac{- 2}{15} i \cdot \sqrt{29}$

5 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 14 - 4 i \cdot \sqrt{29})}{- 30}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x_{2} = \frac{- (- 14 - 4 i \cdot \sqrt{29})}{30}$

Expandir os parêntesis:

$x_{2} = \frac{(14 + 4 i \cdot \sqrt{29})}{30}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{14}{30} + \frac{4 i \cdot \sqrt{29}}{30}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(7 \cdot 2)}{(15 \cdot 2)} + \frac{4 i \cdot \sqrt{29}}{30}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = \frac{7}{15} + \frac{4 i \cdot \sqrt{29}}{30}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = \frac{7}{15} + \frac{2}{15} i \cdot \sqrt{29}$

5. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

2. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

3. Simplificar a raiz quadrada (−464)

4. Resolver a equação para x

5. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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