Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-0\pm sqrt\left(0^2-4*-12*2\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-0\pm sqrt\left(0-4*-12*2\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-0\pm sqrt\left(0--48*2\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-0\pm sqrt\left(0--96\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-0\pm sqrt\left(0+96\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-0\pm sqrt\left(96\right)\right)/\left(2*-12\right)$$

$$t=\left(-0\pm sqrt\left(96\right)\right)/\left(-24\right)$$

para obter o resultado:

$$t=\left(-0\pm sqrt\left(96\right)\right)/\left(-24\right)$$

Simplificar $$96$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$96$$ é $$2^5\cdot 3$$

$$t=\left(-0\pm 4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-24\right)$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(-0+4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-24\right)$$ e $$t_2=\left(-0-4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\left(-0+4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\left(-0+4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\left(-0+4*2,449\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\left(-0+4*2,449\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\left(-0+9,798\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\left(-0+9,798\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=\left(9,798\right)/\left(-24\right)$$

$$t_1=9,\frac{798}{-}24$$

$$t_1=-0,408$$

$$t_2=\left(-0-4*sqrt\left(6\right)\right)/\left(-24\right)$$

$$t_2=\left(-0-4*2,449\right)/\left(-24\right)$$

$$t_2=\left(-0-4*2,449\right)/\left(-24\right)$$

$$t_2=\left(-0-9,798\right)/\left(-24\right)$$

$$t_2=\left(-0-9,798\right)/\left(-24\right)$$

$$t_2=\left(-9,798\right)/\left(-24\right)$$

$$t_2=-9,\frac{798}{-}24$$

$$t_2=0,408$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,408, 0,408.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é negativo ($$a$$=-12), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$-12t^2+0t+2\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$