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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = - 1 + \frac{1}{5} i \cdot \sqrt{95}, x_{2} = - 1 + \frac{- 1}{5} i \cdot \sqrt{95}

x_{1}=-1+\frac{1}{5}i\cdot\sqrt{95} , x_{2}=-1+\frac{-1}{5}i\cdot\sqrt{95}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c \geq 0$

Adicionar $- 25$ a ambos os lados da equação.

$5 x^{2} + 10 x - 1 \geq - 25$

Adicionar $- 25$ a ambos os lados da equação.

$5 x^{2} + 10 x - 1 + 25 \geq - 25 + 25$

Simplificar a expressão

$5 x^{2} + 10 x + 24 \geq 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $5 x^{2} + 10 x + 24 \geq 0$ , são:

$a$ = 5

$b$ = 10

$c$ = 24

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 5$
$b = 10$
$c = 24$

$x = (- 10 \pm s q r t (10^{2} - 4 * 5 * 24)) / (2 * 5)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 4 * 5 * 24)) / (2 * 5)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 20 * 24)) / (2 * 5)$

$x = (- 10 \pm s q r t (100 - 480)) / (2 * 5)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 10 \pm s q r t (- 380)) / (2 * 5)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 10 \pm s q r t (- 380)) / (10)$

para obter o resultado:

$x = (- 10 \pm s q r t (- 380)) / 10$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 380)}$

Simplificar $- 380$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 380$ é $2 i \cdot \sqrt{95}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 380} = \sqrt{(- 1) \cdot 380}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 380} = i \sqrt{380}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{380} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 19}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 19} = i \sqrt{2^{2} \cdot 5 \cdot 19}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 5 \cdot 19} = 2 i \cdot \sqrt{5 \cdot 19}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 i \cdot \sqrt{5 \cdot 19} = 2 i \cdot \sqrt{95}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 10 \pm 2 i * s q r t (95)) / 10$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 10 + 2 i * s q r t (95)) / 10$ e $x_{2} = (- 10 - 2 i * s q r t (95)) / 10$

3 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 10 + 2 i \cdot \sqrt{95})}{10}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{- 10}{10} + \frac{2 i \cdot \sqrt{95}}{10}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(- 1 \cdot 10)}{(1 \cdot 10)} + \frac{2 i \cdot \sqrt{95}}{10}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = - 1 + \frac{2 i \cdot \sqrt{95}}{10}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = - 1 + \frac{1}{5} i \cdot \sqrt{95}$

3 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 10 - 2 i \cdot \sqrt{95})}{10}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{- 10}{10} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{95}}{10}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(- 1 \cdot 10)}{(1 \cdot 10)} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{95}}{10}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = - 1 + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{95}}{10}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = - 1 + \frac{- 1}{5} i \cdot \sqrt{95}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (−380)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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