Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$n^2-10n+13<0$$, são:

$$a$$ = 1

$$b$$ = -10

$$c$$ = 13

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{n}^2+bn+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$n=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$n=\left(-1*-10\pm sqrt\left(-{10}^2-4*1*13\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-4*1*13\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-4*13\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-10\pm sqrt\left(100-52\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-10\pm sqrt\left(48\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-10\pm sqrt\left(48\right)\right)/\left(2\right)$$

$$n=\left(10\pm sqrt\left(48\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$n=\left(10\pm sqrt\left(48\right)\right)/2$$

Simplificar $$48$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$48$$ é $$2^4\cdot 3$$

$$n=\left(10\pm 4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$n_1=\left(10+4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$ e $$n_2=\left(10-4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$n_1=\left(10+4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$n_1=\left(10+4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$n_1=\left(10+4*1,732\right)/2$$

$$n_1=\left(10+4*1,732\right)/2$$

$$n_1=\left(10+6,928\right)/2$$

$$n_1=\left(10+6,928\right)/2$$

$$n_1=\left(16,928\right)/2$$

$$n_1=16,\frac{928}{2}$$

$$n_1=8,464$$

$$n_2=\left(10-4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$n_2=\left(10-4*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$n_2=\left(10-4*1,732\right)/2$$

$$n_2=\left(10-4*1,732\right)/2$$

$$n_2=\left(10-6,928\right)/2$$

$$n_2=\left(10-6,928\right)/2$$

$$n_2=\left(3,072\right)/2$$

$$n_2=3,\frac{072}{2}$$

$$n_2=1,536$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 1,536, 8,464.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$n^2-10n+13<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$