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Introduzir uma equação ou problema

Entrada de câmara não reconhecida!

a

x

y

/

|abs|

( )

7

8

9

*

$fraction$

4

5

6

-

%

1

2

3

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0

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=

abc

a

b

c

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g

h

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m

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

␣

.

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 5 < x < - 3

-5<x<-3

Notação de intervalo:

x \in (- 5; - 3)

x∈(-5;-3)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

17 passos adicionais

$(x - 1) \cdot (x - 1) - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

Expandir os parêntesis:

$x \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1) - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 \cdot (x - 1) - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 \cdot (x - 1) - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

Expandir os parêntesis:

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} - x - 1 x + 1 - {(x + 3)}^{2} - x^{2} > 7$

Agrupar termos semelhantes:

$(x^{2} - x^{2}) + (- x - x) + 1 - {(x + 3)}^{2} > 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 2 x + 1 - {(x + 3)}^{2} > 7$

Expandir os parêntesis:

$- 2 x + 1 - (x \cdot (x + 3) + 3 \cdot (x + 3)) > 7$

$- 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot (x + 3)) > 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 2 x + 1 - (x^{2} + x \cdot 3 + 3 \cdot (x + 3)) > 7$

Expandir os parêntesis:

$- 2 x + 1 - (x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3) > 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$- 2 x + 1 - (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) > 7$

Expandir os parêntesis:

$- 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 > 7$

Agrupar termos semelhantes:

$- x^{2} + (- 2 x - 6 x) + (1 - 9) > 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x^{2} - 8 x - 8 > 7$

Adicionar $8$ em ambos os lados:

$(- x^{2} - 8 x - 8) + 8 > 7 + 8$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x^{2} - 8 x > 7 + 8$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x^{2} - 8 x > 15$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Subtrair $15$ de ambos os lados da desigualdade:

$- 1 x^{2} - 8 x > 15$

Subtrair $15$ de ambos os lados:

$- 1 x^{2} - 8 x - 15 > 15 - 15$

Simplificar a expressão

$- 1 x^{2} - 8 x - 15 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $- 1 x^{2} - 8 x - 15 > 0$ , são:

$a$ = -1

$b$ = -8

$c$ = -15

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 1$
$b = - 8$
$c = - 15$

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 8^{2} - 4 * - 1 * - 15)) / (2 * - 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 4 * - 1 * - 15)) / (2 * - 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - - 4 * - 15)) / (2 * - 1)$

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 60)) / (2 * - 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (4)) / (2 * - 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 8 \pm s q r t (4)) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (8 \pm s q r t (4)) / (- 2)$

para obter o resultado:

$x = (8 \pm s q r t (4)) / (- 2)$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(4)}$

Simplificar $4$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>4</math>:

A fatoração prima de $4$ é $2^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{4} = \sqrt{2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2}} = 2$

5. Resolver a equação para x

$x = (8 \pm 2) / (- 2)$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (8 + 2) / (- 2)$ e $x_{2} = (8 - 2) / (- 2)$

$x_{1} = (8 + 2) / (- 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (8 + 2) / (- 2)$

$x_{1} = (10) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{10}{-} 2$

$x_{1} = - 5$

$x_{2} = (8 - 2) / (- 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (8 - 2) / (- 2)$

$x_{2} = (6) / (- 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = \frac{6}{-} 2$

$x_{2} = - 3$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -5, -3.

Uma vez que o coeficiente $a$ é negativo ( $a$ =-1), é uma desigualdade quadrática "negativa" e a parábola aponta para cima, como uma cara triste.

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $- 1 x^{2} - 8 x - 15 > 0$ tem um sinal de desigualdade $>$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

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