Introduzir uma equação ou problema

Entrada de câmara não reconhecida!

|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

2 < x < 4

2<x<4

Notação de intervalo:

x \in (2; 4)

x∈(2;4)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

18 passos adicionais

$(3 x - 7) \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Expandir os parêntesis:

$3 x \cdot (3 x - 7) - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Expandir os parêntesis:

$3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Agrupar termos semelhantes:

$(3 \cdot 3) \cdot (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Multiplicar coeficientes:

$9 \cdot (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Agrupar termos semelhantes:

$9 x^{2} + (3 \cdot - 7) x - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Multiplicar coeficientes:

$9 x^{2} - 21 x - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Expandir os parêntesis:

$9 x^{2} - 21 x - 7 \cdot 3 x - 7 \cdot - 7 < 2 x^{2} - 7$

Multiplicar coeficientes:

$9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7 < 2 x^{2} - 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49 < 2 x^{2} - 7$

Combinar termos semelhantes:

$9 x^{2} - 42 x + 49 < 2 x^{2} - 7$

Subtrair 49 de ambos os lados:

$(9 x^{2} - 42 x + 49) - 2 x^{2} < (2 x^{2} - 7) - 2 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(9 x^{2} - 2 x^{2}) - 42 x + 49 < (2 x^{2} - 7) - 2 x^{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$7 x^{2} - 42 x + 49 < (2 x^{2} - 7) - 2 x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$7 x^{2} - 42 x + 49 < (2 x^{2} - 2 x^{2}) - 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$7 x^{2} - 42 x + 49 < - 7$

Subtrair 49 de ambos os lados:

$(7 x^{2} - 42 x + 49) - 49 < - 7 - 49$

Simplificar a expressão aritmética:

$7 x^{2} - 42 x < - 7 - 49$

Simplificar a expressão aritmética:

$7 x^{2} - 42 x < - 56$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Adicionar $- 56$ a ambos os lados da equação.

$7 x^{2} - 42 x < - 56$

Adicionar $- 56$ a ambos os lados da equação.

$7 x^{2} - 42 x + 56 < - 56 + 56$

Simplificar a expressão

$7 x^{2} - 42 x + 56 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $7 x^{2} - 42 x + 56 < 0$ , são:

$a$ = 7

$b$ = -42

$c$ = 56

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 7$
$b = - 42$
$c = 56$

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (- 42^{2} - 4 * 7 * 56)) / (2 * 7)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (1764 - 4 * 7 * 56)) / (2 * 7)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (1764 - 28 * 56)) / (2 * 7)$

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (1764 - 1568)) / (2 * 7)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (196)) / (2 * 7)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (196)) / (14)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (42 \pm s q r t (196)) / 14$

para obter o resultado:

$x = (42 \pm s q r t (196)) / 14$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(196)}$

Simplificar $196$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>196</math>:

A fatoração prima de $196$ é $2^{2} \cdot 7^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{196} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{2^{2} \cdot 7^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 7^{2}} = 2 \cdot 7$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 7 = 14$

5. Resolver a equação para x

$x = (42 \pm 14) / 14$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (42 + 14) / 14$ e $x_{2} = (42 - 14) / 14$

$x_{1} = (42 + 14) / 14$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (42 + 14) / 14$

$x_{1} = (56) / 14$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = \frac{56}{14}$

$x_{1} = 4$

$x_{2} = (42 - 14) / 14$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (42 - 14) / 14$

$x_{2} = (28) / 14$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = \frac{28}{14}$

$x_{2} = 2$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 2, 4.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =7), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $7 x^{2} - 42 x + 56 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

Deixa-nos um comentário

Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (196)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

Ligações relacionadas

Últimos exercícios relacionados resolvidos

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(196)}$