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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = (- 1 + i s q r t (39)) / 4, x_{2} = (- 1 - i s q r t (39)) / 4

x_1=(-1+isqrt(39))/4 , x_2=(-1-isqrt(39))/4

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Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2 passos adicionais

$(2 x^{2} + x + 5) > 0$

Subtrair 5 de ambos os lados:

$(2 x^{2} + x + 5) - 5 > 0 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + x > 0 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + x > - 5$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Adicionar $- 5$ a ambos os lados da equação.

$2 x^{2} + 1 x > - 5$

Adicionar $- 5$ a ambos os lados da equação.

$2 x^{2} + 1 x + 5 > - 5 + 5$

Simplificar a expressão

$2 x^{2} + 1 x + 5 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $2 x^{2} + 1 x + 5 > 0$ , são:

$a$ = 2

$b$ = 1

$c$ = 5

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 2$
$b = 1$
$c = 5$

$x = (- 1 \pm s q r t (1^{2} - 4 * 2 * 5)) / (2 * 2)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 \pm s q r t (1 - 4 * 2 * 5)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 \pm s q r t (1 - 8 * 5)) / (2 * 2)$

$x = (- 1 \pm s q r t (1 - 40)) / (2 * 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 \pm s q r t (- 39)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 \pm s q r t (- 39)) / (4)$

para obter o resultado:

$x = (- 1 \pm s q r t (- 39)) / 4$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 39)}$

Simplificar $- 39$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 39$ é $i \sqrt{39}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 39} = \sqrt{(- 1) \cdot 39}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 39} = i \sqrt{39}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{39} = i \sqrt{3 \cdot 13}$

$i \sqrt{3 \cdot 13} = i \sqrt{39}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 1 \pm i s q r t (39)) / 4$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 1 + i s q r t (39)) / 4$ e $x_{2} = (- 1 - i s q r t (39)) / 4$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas