Solução - Derivada

- 75 x^{4} \sin (15 x^{5})

- 75 x^{4} \sin{\left(15 x^{5} \right)}

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1. Resolver derivada

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Calculando a derivada de uma função cosseno usando a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [\cos (15 x^{5})] = - \sin (15 x^{5}) \times \frac{d}{d x} [15 x^{5}]$

Descompondo a função para a regra da cadeia.

$\frac{d}{d x} [\cos (15 x^{5})] = \frac{d}{d x} [\cos (x)] \times \frac{d}{d x} [15 x^{5}]$

Calculando a derivada de uma função cosseno.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] \times \frac{d}{d x} [15 x^{5}] = - \sin (x) \times \frac{d}{d x} [15 x^{5}]$

Substituindo a variável de volta na função.

$- \sin (x) \times \frac{d}{d x} [15 x^{5}] = - \sin (15 x^{5}) \times \frac{d}{d x} [15 x^{5}]$

Aplicando a regra do produto das derivadas.

$- \sin (15 x^{5}) \times \frac{d}{d x} [15 x^{5}] = - \sin (15 x^{5}) (\frac{d}{d x} [15] \times x^{5} + 15 \times \frac{d}{d x} [x^{5}])$

A derivada de um valor constante é sempre zero.

$- \sin (15 x^{5}) (\frac{d}{d x} [15] \times x^{5} + 15 \times \frac{d}{d x} [x^{5}]) = - \sin (15 x^{5}) (0 x^{5} + 15 \times \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Multiplicar um número por zero sempre resulta em zero.

$- \sin (15 x^{5}) (0 x^{5} + 15 \times \frac{d}{d x} [x^{5}]) = - \sin (15 x^{5}) (0 + 15 \times \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Adicionando zero a um número, o que não muda o seu valor.

$- \sin (15 x^{5}) (0 + 15 \times \frac{d}{d x} [x^{5}]) = - \sin (15 x^{5}) \times (15 \times \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Calculando a derivada de x elevado à potência de n.

$- \sin (15 x^{5}) \times (15 \times \frac{d}{d x} [x^{5}]) = - \sin (15 x^{5}) \times (15 \times (5 x^{5 - 1}))$

Subtraindo um de um número.

$- \sin (15 x^{5}) \times (15 \times (5 x^{5 - 1})) = - \sin (15 x^{5}) \times (15 \times (5 x^{4}))$

A multiplicação pode ser agrupada de maneira diferente, mas o resultado permanece o mesmo.

$- \sin (15 x^{5}) \times (15 \times (5 x^{4})) = - \sin (15 x^{5}) \times ((15 \times 5) \times x^{4})$

Multiplicando dois números inteiros juntos.

$- \sin (15 x^{5}) \times ((15 \times 5) \times x^{4}) = - \sin (15 x^{5}) \times (75 x^{4})$

Simplificando as expressões aritméticas.

$- \sin (15 x^{5}) \times (75 x^{4}) = - 75 x^{4} \sin (15 x^{5})$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

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Animação: Ama filmes animados? Artistas usam derivadas para mudar suavemente o movimento e as expressões dos personagens, tornando-os mais realistas.

Engenharia: Projetando uma ponte ou um arranha-céu? Derivadas ajudam a determinar as taxas de mudanças de tensões e deformações nos materiais, garantindo a segurança de suas estruturas.

Em resumo, derivadas são como um código secreto para entender a mudança e fazer previsões na vida real. Então, vamos decifrar esse código juntos e nos tornarmos mestres de nosso futuro!

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